To-dimensjonal kinematikk eller bevegelse i et plan

Daniel Grill / Getty Images

Denne artikkelen skisserer de grunnleggende konseptene som er nødvendige for å analysere bevegelsen til objekter i to dimensjoner, uten hensyn til kreftene som forårsaker akselerasjonen involvert. Et eksempel på denne typen problemer kan være å kaste en ball eller skyte en kanonkule. Det forutsetter en kjennskap til endimensjonal kinematikk , ettersom den utvider de samme konseptene til et todimensjonalt vektorrom.

Velge koordinater

Kinematikk involverer forskyvning, hastighet og akselerasjon som er alt vektormengder som krever både størrelse og retning. Derfor, for å starte et problem i todimensjonal kinematikk, må du først definere koordinatsystem du bruker. Generelt vil det være i form av en x -akse og en Y -akse, orientert slik at bevegelsen er i positiv retning, selv om det kan være noen omstendigheter der dette ikke er den beste metoden.

I tilfeller der tyngdekraften vurderes, er det vanlig å gjøre tyngdekraftens retning i negativ- Y retning. Dette er en konvensjon som generelt forenkler problemet, selv om det ville være mulig å utføre beregningene med en annen orientering hvis du virkelig ønsker det.

Hastighetsvektor

Posisjonsvektoren r er en vektor som går fra opprinnelsen til koordinatsystemet til et gitt punkt i systemet. Endringen i posisjon (Δ r , uttales 'Delta r ') er forskjellen mellom startpunktet ( r ₁) til endepunkt ( r _to). Vi definerer gjennomsnittlig hastighet ( i _av ) som:

i _av = ( r _to- r ₁) / ( t _to- t ₁) = D r /D t

Tar grensen som Δ t nærmer oss 0, oppnår vi øyeblikkelig hastighet i . I kalkulus er dette den deriverte av r med respekt for t , eller d r / dt .

Ettersom forskjellen i tid reduseres, beveger start- og sluttpunktene seg nærmere hverandre. Siden retningen av r er samme retning som i , blir det klart at den momentane hastighetsvektoren ved hvert punkt langs banen er tangent til banen .

Hastighetskomponenter

Den nyttige egenskapen til vektormengder er at de kan deles opp i deres komponentvektorer. Den deriverte av en vektor er summen av dens komponentderivater, derfor:

i_x = dx / dt
i_Y = du / dt

Størrelsen på hastighetsvektoren er gitt av Pythagoras teorem i formen:

| i | = i = sqrt ( i_x ^to+ i_Y ^to)

Retningen til i er orientert alfa grader mot klokken fra x -komponent, og kan beregnes fra følgende ligning:

så alfa = i_Y / i_x

Akselerasjonsvektor

Akselerasjon er endringen av hastighet over en gitt tidsperiode. I likhet med analysen ovenfor finner vi at det er Δ i /D t . Grensen for dette som Δ t nærmer seg 0 gir den deriverte av i med respekt for t .

Når det gjelder komponenter, kan akselerasjonsvektoren skrives som:

en_x = dv_x / dt
en_Y = dv_Y / dt

eller

en_x = d ^to x / dt ^to
en_Y = d ^to Y / dt ^to

Størrelsen og vinkelen (betegnet som beta å skille fra alfa ) av nettoakselerasjonsvektoren beregnes med komponenter på en måte som ligner de for hastighet.

Arbeid med komponenter

Ofte innebærer todimensjonal kinematikk å bryte de relevante vektorene inn i deres x - og Y -komponenter, for deretter å analysere hver av komponentene som om de var endimensjonale tilfeller. Når denne analysen er fullført, blir komponentene av hastighet og/eller akselerasjon deretter kombinert sammen igjen for å oppnå de resulterende todimensjonale hastighets- og/eller akselerasjonsvektorene.

Tredimensjonal kinematikk

Ovennevnte ligninger kan alle utvides for bevegelse i tre dimensjoner ved å legge til en Med -komponent i analysen. Dette er generelt ganske intuitivt, selv om det må utvises litt forsiktighet for å sørge for at dette gjøres i riktig format, spesielt når det gjelder beregning av vektorens orienteringsvinkel.

Redigert avAnne Marie Helmenstine, Ph.D.