De grunnleggende problemene for matematikkfilosofien

De enkleste spørsmålene i matematikkfilosofien peker på dyptgående spørsmål: hvorfor er 1+1 = 2? Hvorfor betyr utsagnet '1+1 = 2' føle så veldig forskjellig fra et utsagn som 'det regnet i går'? For den saks skyld, hva mener vi egentlig med '1', '2', ...? Eksisterer '1'? Hvis ja, hvordan og hvor? Disse spørsmålene har vært tilgjengelige for filosofer så lenge matematikk har vært praktisert. De er, som så mange av filosofispørsmålene, veldig generelle og veldig vanskelige å svare på – for å forstå utsagn som '1+1 = 2', ser det ut til at man trenger mye filosofisk maskineri, slik tilfellet var med førmoderne inntog i matematikkfilosofien. Fra Platon, til Leibniz, til Kant, førte svarene på spørsmålene ovenfor til og utgjorde en del av et større system: matematikkens filosofi.

Matematikkens filosofi: Fra de enkleste til de mest komplekse spørsmålene

Både matematikk og filosofi har endret seg veldig mye på ikke så veldig lenge i det hele tatt. Gamle bekymringer styrer fortsatt undersøkelser: matematikkfilosofer må finne ut hva slags eksistens som gis til objekter som '1' og 'sirkel', og hva slags sannhet til utsagn som '1+1 = 2'. Men moderne matematikk stiller filosofer nye og urovekkende spørsmål, og peker på objekter hvis natur er enda vanskeligere å sette fingeren på. Disse spørsmålene har fremkalt så varierte og tilsynelatende uforenlige svar at matematikkfilosofien kan virke som en merkelig sport der man velger side og forsvarer den religiøst mot alle de andre. Det er viktig å merke seg at det er så mange 'sider' at det ville være umulig å håpe å dekke dem alle i en så kort introduksjon som den du leser nå.

Dette er slett ikke å si at matematikkfilosofi lider av større meningsmangfold enn andre områder av filosofi. Men for å få en følelse av det vanskelige med å tenke filosofisk matematikk, er det best å ikke miste av syne de matematiske bekymringene som ligger bak disse ulike skolene. Et merkelig trekk ved matematikkfilosofien er tendensen til at ekte matematikk, og ikke bare mer filosofi, spirer ut av filosofiske undersøkelser, og like mye at matematisk fremgang snubler over dype grunnleggende spørsmål. Matematikkfilosofi på den ene siden, og metamatematikk (studiet av grunnlaget for matematikk ved bruk av matematiske teknikker) på den andre er ganske direkte historisk relatert, og hver av dem har blitt stadig viktigere for den andre.

David Hilbert: Et flott prosjekt i (filosofien om) matematikk

La oss ta en titt på en historisk bue som berører mange sentrale spørsmål i matematikkfilosofien, et mikrokosmos av samspillet mellom ren filosofi og ren matematikk: prosjektet til matematikeren David Hilbert, og spesielt hans strid med en annen innflytelsesrik tenker. , L.E.J. Brouwer. Etter hvert som ren matematikk modnet på 1800-tallet og kom på stadig mer abstrakte og unintuitive forestillinger, så både matematikere og filosofer klart behovet for å seriøst undersøke grunnlaget for faget. Blant dem var Hilbert, en sentral aktør i arbeidet med å legge grunnlaget for et logisk og robust fag i praksis. Han håpet å oversette synet om at matematikk er en perfekt, rasjonell vitenskap, delt av så mange filosofer, til noe konkret.

Hilberts tanke var motivert av det som på hans tid var dypt moderne utviklinger innen matematikk. Spesielt ønsket han å gi et permanent hjem i matematikk til transfinitt . Arbeidet til Bolzano og Kantor i settteori (et sett er naivt bare en samling av ting organisert under en merkelapp) behandlet seriøst og strengt med ideen om faktisk uendelighet; det vil si at uendelige objekter får en egen eksistens. For eksempel settet med alle heltall {1, 2, …} som et objekt i seg selv er en faktisk uendelig; på den annen side, når man bare håndterer vilkårlig store tall, trenger man bare forestillingen om potensialet uendelig, som hadde vært i matematikernes ontologiske verktøykasse i århundrer. Filosofer fra alle tider hadde trukket denne forskjellen – forestillingen om selve den faktiske uendelige var ikke ny. Ikke desto mindre trakk Cantor frem implikasjonene i settteori for første gang. Nøkkelen var en enkel måte å tenke nytt om tallbegrepet på.

Sett, telling og uendelig

Vår daglige idé om størrelsen på et sett reduserer til enkel telling: gitt to samlinger av ting, kan vi se om de er like store eller ikke ved å telle tingene i hver samling og sammenligne svarene – jeg har tre epler, du har tre bananer. Cantor boret inn i forestillingen om 'å være like stor som' og abstraherte forestillingen om en-til-en korrespondanse: settene har samme størrelse som hverandre hvis man kan koble av elementene deres – hvis jeg kan tilordne nøyaktig ett av eplene mine til hver av bananene dine. Men med denne enkle abstraksjonen får vi gratis en måte å snakke om 'størrelsen' på uendelige sett: vi kan kalle to uendelige samlinger like store hvis vi kan sette dem i en slik en-til-en-korrespondanse. Som det viser seg, er det uendelige sett som ikke kan relateres en-til-en på denne måten. Det skjer for eksempel 'mer' reelle tall (det vil si hele talllinjen – uendelige desimaler og alle) enn hele tall, til tross for at begge samlingene er uendelige.

Cantors teorem: Uendelig uendelighet

Det blir merkeligere - Kantors teorem forteller oss i hovedsak at det finnes mye av forskjellige uendeligheter: uendelig mange, faktisk, og gitt enhver uendelig samling, er det alltid en større. Denne nye måten å håndtere tallbegrepet på førte til studiet av kardinaler, som på en måte er en radikal utvidelse av telling som gjør oss i stand til å snakke om alle slags faktiske uendeligheter.

Disse merkelige fenomenene fører til at mange ledende matematikere presser seg kraftig tilbake mot denne nye faktiske uendeligheten, slik som Henri Poincaré, som erklærte at 'Det er ingen faktisk uendelighet, kantorianerne har glemt det, og de har falt i motsetning.' Cantors ideer, selv om de nå er nær allestedsnærværende i matematikk, var i utgangspunktet ikke populære i det hele tatt.

Men for noen – blant dem Hilbert – var dette bruddet fra det endelige en stor seier for matematikkens frie utvikling. For Hilbert var den matematiske soliditeten til Cantors uendelige et spørsmål av stor estetisk betydning, som man kan forstå fra hans beryktede sitat: 'F fra paradiset, som Cantor skapte for oss, skal ingen kunne fordrive oss '.

Matematisk realisme vs matematisk formalisme

Forskjeller i perspektiver i matematikkfilosofi kan delvis kalibreres av holdninger til disse nye uendelighetene. Hilberts syn satte ham helt i opposisjon til en annen fremtredende tenker, L. E. J. Brouwer, som førte til en beryktet filosofisk rivalisering.

Hilbert så på matematikk som et slags spill, som utelukkende handlet om manipulering av symboler i henhold til visse regler, et syn kjent som formalisme . Dette synet forbyr ikke nødvendigvis tolkninger av dette 'formelspillet' som på-denne-eller-den-måten knyttet til virkeligheten, men i sin grunnleggende form krever det heller mindre engasjement for problematiske matematiske 'enheter' enn eldre former for matematisk realisme , som for eksempel platonisme (visningen dateres, naturlig nok, tilbake til Rett , som hevder at matematiske objekter som '1' og 'sirkel' virkelig eksisterer som vedvarende objekter på en måte som er uavhengig av oss og vår forståelse av dem). Brouwer forsto matematikk på en tredje måte radikalt forskjellig fra begge disse perspektivene.

En av Hilberts mer kjente teoremer, og kjernen i et punkt med dyp uenighet mellom ham og Brouwer, er hans s.k. Basisteorem . De finere detaljene er irrelevante: det som var interessant for filosofer, og kritikkverdig for Brouwer, var måten Hilbert beviste det på. Hilberts basisteorem er en eksistensteorem – den har formen ‘ det er minst én X’. Matematikere, når de får i oppgave å vise at 'det er minst en X', kan ta en av to tilnærminger: de må enten vise hvordan man finner en slik X, eller vise at den er umulig at det ikke finnes en slik X. Bevis av den første typen kalles konstruktive , og bevis av den andre typen kalles ikke-konstruktiv. Hilberts bevis på basisteoremet var ikke-konstruktivt. Brouwer tok problemet: han grunnla og forsvarte lidenskapelig en tilnærming til matematisk filosofi kjent som intuisjonisme .

Intuisjonisme og konstruktivisme

Intuisjonisten nekter å betrakte matematiske objekter som ting som ikke ble konstruert av sinnets aktivitet. For Brouwer var ikke-konstruktive bevisteknikker av den typen Hilbert brukte, alvorlig problematiske. Den bredere skolen for matematisk filosofi som avviser disse ikke-konstruktive bevisene er kjent som konstruktivisme . Konstruktivister avviser ofte eksistensen av det faktiske uendelige i matematikk, som som et uavhengig syn er kjent som finitisme (sammen med sin ganske utkantede fetter, ultrafinitisme , som avviser til og med begrensede objekter som er 'for store til å konstruere rimelig'). Hilbert og Brouwer tilbød dermed ikke bare forskjellige perspektiver på virkeligheten og gyldigheten til matematiske objekter, men radikalt forskjellige måter å gjøre matematikk på.

Begge skapte ny studie i selve matematisk logikk: intuisjonistisk logikk studerer logiske systemer uten loven om den ekskluderte midten og er den dag i dag et aktivt forskningsfelt. Mer notorisk var det imidlertid at den tidlige formalistiske tilnærmingen til Hilbert hadde som et optimistisk mål å skape et aksiomatisk system (aksiomer er innledende utsagn som alltid ble antatt sanne) som all matematikk kunne utledes fra, og som i seg selv var fri for motsetninger. Disse forestillingene – henholdsvis kalt fullstendighet og konsistens i matematisk logikk – begge syntes å være helt fornuftige ting å spørre om det matematiske grunnlaget du har valgt.

I 1900 publiserte Hilbert en liste over 23 problemer han anså for å være i forkant av den tidens moderne matematikk. Andre på listen var å vise at axiomene hans for aritmetikk var konsistente. Dette systemet av aksiomer tilbød de vanlige grunnleggende aritmetiske strukturene vi er kjent med – tall, addisjon, subtraksjon osv. – og, man håpet, var også kraftige nok til å formalisere resten av matematikken.

Gödels ufullstendighetsteorem: Trouble in Paradise

De nå beryktede to ufullstendighetsteoremene til Kurt Gödel stanset de mer stjerneklare tolkningene av Hilberts prosjekt ved å vise at Nei system av aksiomer som inneholder aritmetikk kan bevise sin egen konsistens. De er presise og subtile logiske teoremer, og filosofer har vært forsiktige med å vurdere konsekvensene deres for matematisk realisme (Gödel selv var fortsatt en engasjert platonist).

Selv om Hilberts program ikke var det nødvendigvis i fullstendig stillstand etter Gödel, var teoremene et vannskille for matematisk logikk – og har vært gjenstand for uendelig filosofisk diskusjon siden den gang. Hilberts tilnærming var verken det første eller det siste ordet om matematikkens aksiomatiske grunnlag. Mange store prosjekter fantes.

Frege, og senere Russell, ledet logiker tilnærming, som hadde som mål å redusere matematiske teoremer til logiske proposisjoner. Russell fant som kjent et alvorlig problem i Freges tilnærming – et av hans aksiomer, som var å tillate opprettelsen av et sett ved å påkalle settet av alle ting som tilfredsstiller en gitt egenskap, falt i konflikt med en motsigelse, nå kjent som Russells paradoks: at settet med alle sett som ikke inneholder seg selv, en nonsens-enhet, er tillatt av denne loven. På sin side så Gödels teoremer ut til å sette bremsene på Russells egne logikerambisjoner, og matematikere vendte seg til mindre ambisiøse tilnærminger. Frege og Russell var begge selv integrert i den tidlige utviklingen av Ludwig Wittgenstein , hvis arbeid har et bredt spekter av ytterligere implikasjoner for matematikkens filosofi, inkludert statusen til logikk og deres forhold til naturlig språk.

Gamle spørsmål, nye spørsmål: fremtiden for matematikkfilosofien

Etter hvert ble det funnet en fungerende løsning på problemet med aksiomatiseringen av settteori i form av Zermelo-Fraenkel-aksiomene (sammen med valgaksiomet, historisk kontroversielt om mindre så i dag) … I praktiske termer denne ontologien – som bare inneholder en gjenstand, en sett , som alt er konstruert av - er 'standard' for matematikere i dag (men på ingen måte det eneste valget).

Zermelo-Fraenkel settteori ligger hele veien fra filosofisk spekulasjon til konkret matematisk kunnskap – den er nå i seg selv et matematisk objekt studert av logikere. Men akkurat som Cantors forestilling om sett utfordret måten filosofer tenker på matematikk, så nyere abstraksjoner begynner å gjøre det samme, ettersom nye grunnleggende tilnærminger kommer og går. Ikke bare er gamle spørsmål fortsatt ferske, men friske spørsmål dukker opp fra nye ideer i matematikk, og unnlater aldri å holde filosofer opptatt, ettersom samspillet mellom filosofi og matematikk blir dypere.