Matematiske egenskaper for bølger

PASIEKA/Science Photolibrary/Getty Images

Fysiske bølger, eller mekaniske bølger , dannes gjennom vibrasjonen av et medium, det være seg en streng, jordskorpen eller partikler av gasser og væsker. Bølger har matematiske egenskaper som kan analyseres for å forstå bølgens bevegelse. Denne artikkelen introduserer disse generelle bølgeegenskapene, i stedet for hvordan de skal brukes i spesifikke situasjoner i fysikk.

Tverrgående og langsgående bølger

Det finnes to typer mekaniske bølger.

A er slik at forskyvningene til mediet er vinkelrett (tvers) på bølgeretningen langs mediet. Å vibrere en streng i periodisk bevegelse, slik at bølgene beveger seg langs den, er en tverrbølge, det samme er bølger i havet.

EN langsgående bølge er slik at forskyvningene av mediet er frem og tilbake i samme retning som selve bølgen. Lydbølger, hvor luftpartiklene skyves med i kjøreretningen, er et eksempel på en langsgående bølge.

Selv om bølgene som er omtalt i denne artikkelen vil referere til reise i et medium, kan matematikken introdusert her brukes til å analysere egenskapene til ikke-mekaniske bølger. Elektromagnetisk stråling, for eksempel, er i stand til å reise gjennom tomt rom, men har likevel de samme matematiske egenskapene som andre bølger. For eksempel Doppler-effekt for lydbølger er velkjent, men det finnes en lignende Dopplereffekt for lysbølger , og de er basert på de samme matematiske prinsippene.

Hva forårsaker bølger?

1. Bølger kan sees på som en forstyrrelse i mediet rundt en likevektstilstand, som vanligvis er i ro. Energien til denne forstyrrelsen er det som forårsaker bølgebevegelsen. En vannbasseng er i likevekt når det ikke er bølger, men så snart en stein kastes i den, forstyrres likevekten til partiklene og bølgebevegelsen begynner.
2. Forstyrrelsen av bølgen reiser, eller propagerer , med en bestemt hastighet, kalt bølgehastighet ( i ).
3. Bølger transporterer energi, men spiller ingen rolle. Mediet i seg selv reiser ikke; de enkelte partiklene gjennomgår frem-og-tilbake eller opp-og-ned bevegelse rundt likevektsposisjonen.

Bølgefunksjonen

For matematisk å beskrive bølgebevegelse, viser vi til begrepet a bølgefunksjon , som beskriver posisjonen til en partikkel i mediet til enhver tid. Den mest grunnleggende av bølgefunksjonene er sinusbølgen, eller sinusbølgen, som er en periodisk bølge (dvs. en bølge med repeterende bevegelse).

Det er viktig å merke seg at bølgefunksjonen ikke viser den fysiske bølgen, men snarere er det en graf over forskyvningen rundt likevektsposisjonen. Dette kan være et forvirrende konsept, men det nyttige er at vi kan bruke en sinusformet bølge til å skildre de fleste periodiske bevegelser, for eksempel å bevege seg i en sirkel eller svinge en pendel, som ikke nødvendigvis ser bølgelignende ut når du ser den faktiske bevegelse.

Egenskaper til Wave-funksjonen

bølgehastighet( i ) - hastigheten på bølgens utbredelse amplitude( EN ) - den maksimale størrelsen på forskyvningen fra likevekt, i SI-enheter av meter. Generelt er det avstanden fra bølgens midtpunkt i likevekt til dens maksimale forskyvning, eller det er halvparten av bølgens totale forskyvning. periode( T ) - er tiden for én bølgesyklus (to pulser, eller fra topp til topp eller bunn til bunn), i SI-enheter av sekunder (selv om det kan refereres til som 'sekunder per syklus'). Frekvens( f ) - antall sykluser i en tidsenhet. SI-enheten for frekvens er hertz (Hz) og

1 Hz = 1 syklus/s = 1 s^-1

vinkelfrekvens( Åh ) - er 2 Pi ganger frekvensen, i SI-enheter av radianer per sekund.
• bølgelengde ( l ) - avstanden mellom to punkter ved tilsvarende posisjoner på påfølgende repetisjoner i bølgen, så (for eksempel) fra en topp eller bunn til den neste, i SI-enheter av meter.
bølgenummer( k ) - også kalt forplantningskonstant , er denne nyttige mengden definert som 2 Pi dividert med bølgelengden, så SI-enhetene er radianer per meter. puls- en halv bølgelengde, fra likevekt tilbake

Noen nyttige ligninger for å definere mengdene ovenfor er:

i = l / T = l f

Åh = 2 p f = 2 Pi / T

T = 1 / f = 2 Pi / Åh

k = 2 Pi / Åh

Åh = vk

Den vertikale posisjonen til et punkt på bølgen, Y , kan finnes som en funksjon av den horisontale posisjonen, x , og tiden, t , når vi ser på det. Vi takker de snille matematikerne for at de gjorde dette arbeidet for oss, og får følgende nyttige ligninger for å beskrive bølgebevegelsen:

Y ( x, t ) = EN uten Åh ( t - x / i ) = EN uten 2 p f ( t - x / i )

Y ( x, t ) = EN uten 2 Pi ( t / T - x / i )

Y( x, t ) = EN uten ( å t - kx )

Bølgeligningen

Et siste trekk ved bølgefunksjonen er at det gjelder kalkulus å ta det andre derivatet gir bølgeligning , som er et spennende og noen ganger nyttig produkt (som vi nok en gang vil takke matematikerne for og akseptere uten å bevise det):

d ^to Y / dx ^to= (1 / i ^to) d ^to Y / dt ^to

Den andre deriverte av Y med respekt for x er ekvivalent med den andre deriverte av Y med respekt for t dividert med bølgehastigheten i annen. Den viktigste nytten av denne ligningen er det når det oppstår, vet vi at funksjonen Y fungerer som en bølge med bølgehastighet i og derfor, situasjonen kan beskrives ved hjelp av bølgefunksjonen .