Algebras historie

Artikkel fra 1911 Encyclopedia

Peopleimages/Getty Images

Ulike avledninger av ordet 'algebra', som er av arabisk opprinnelse, er gitt av forskjellige forfattere. Den første omtale av ordet er å finne i tittelen på et verk av Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), som blomstret rundt begynnelsen av det 9. århundre. Hele tittelen er ilm al-jebr wa'l-muqabala, som inneholder ideene om restitusjon og sammenligning, eller motstand og sammenligning, eller oppløsning og ligning, algebra er avledet fra verbet jabara, å gjenforenes, og konfrontasjon, fra et stykke å gjøre lik. (Roten jabara blir også møtt i ordet fra algebra, som betyr en 'bein-setter', og er fortsatt i vanlig bruk i Spania.) Den samme utledningen er gitt av Lucas Paciolus ( Luca Pacioli ), som gjengir uttrykket i translitterert form alghebra og almucabala, og tilskriver oppfinnelsen av kunsten til araberne.

Andre forfattere har hentet ordet fra den arabiske partikkelen til (den bestemte artikkelen), og gerber, som betyr 'mann.' Siden Geber imidlertid tilfeldigvis var navnet på en berømt maurisk filosof som blomstret rundt på 1000- eller 1100-tallet, har det blitt antatt at han var grunnleggeren av algebra, som siden har foreviget navnet hans. Bevisene til Peter Ramus (1515-1572) på dette punktet er interessant, men han gir ingen autoritet for sine enestående uttalelser. I forordet til hans To aritmetikkbøker og like mange algebrabøker (1560) sier han: 'Navnet Algebra er syrisk, og betyr kunsten eller læren til en utmerket mann. For Geber, på syrisk, er et navn som brukes på menn, og er noen ganger en æresbetegnelse, som mester eller lege blant oss. Det var en viss lærd matematiker som sendte sin algebra, skrevet på det syriske språket, til Alexander den store, og han kalte den almucabala, det vil si boken om mørke eller mystiske ting, som andre heller vil kalle læren om algebra. Den samme bok er den dag i dag i stor vurdering blant de lærde i de orientalske nasjonene, og av indianerne, som dyrker denne kunsten, kalles den aljabra og soloppgang; selv om navnet på forfatteren selv ikke er kjent.' Den usikre autoriteten til disse utsagnene, og plausibiliteten til den foregående forklaringen, har fått filologer til å akseptere avledningen fra til og jabara. Robert Recorde i sin Whetstone of Witte (1557) bruker varianten alger, mens John Dee (1527-1608) bekrefter det algiebar, og ikke algebra, er den riktige formen, og appellerer til den arabiske Avicennas autoritet.

Selv om begrepet 'algebra' nå er i universell bruk, ble forskjellige andre betegnelser brukt av de italienske matematikerne under renessansen. Dermed finner vi Paciolus som kaller det l'Arte Magiore; ditta dal vulgar la Regula de la Cosa over Alghebra e Almucabala. Navnet stor kunst, den større kunsten, er designet for å skille den fra mindre kunst, den mindre kunsten, et begrep som han brukte på moderne regning. Hans andre variant, reguleringen av tingen, tingens regel eller ukjent mengde, ser ut til å ha vært i vanlig bruk i Italia, og ordet ting ble bevart i flere århundrer i formene coss eller algebra, cossic eller algebraic, cossist eller algebraist, etc. Andre italienske forfattere kalte det Rettssikkerhet og folketelling regelen for tingen og produktet, eller roten og kvadratet. Prinsippet som ligger til grunn for dette uttrykket er sannsynligvis å finne i det faktum at det målte grensene for deres oppnåelser i algebra, for de var ikke i stand til å løse likninger av høyere grad enn kvadratisk eller kvadratisk.

Franciscus Vieta (Francois Viete) kalte den Spesiell aritmetikk, på grunn av arten av de involverte mengdene, som han representerte symbolsk med de forskjellige bokstavene i alfabetet. Sir Isaac Newton introduserte begrepet Universal Arithmetic, siden det er opptatt av læren om operasjoner, ikke påvirket av tall, men på generelle symboler.

Til tross for disse og andre særegne betegnelser, har europeiske matematikere holdt seg til det eldre navnet, som emnet nå er universelt kjent under.

Fortsetter på side to.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra 1911-utgaven av et leksikon, som er uten opphavsrett her i USA. Artikkelen er i det offentlige domene, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette verket etter eget ønske. .

Det er gjort alt for å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for eventuelle problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form av dette dokumentet.

Det er vanskelig å tilordne oppfinnelsen av noen kunst eller vitenskap definitivt til en bestemt alder eller rase. De få fragmentariske opptegnelsene, som har kommet ned til oss fra tidligere sivilisasjoner, må ikke betraktes som å representere helheten av deres kunnskap, og utelatelsen av en vitenskap eller kunst betyr ikke nødvendigvis at vitenskapen eller kunsten var ukjent. Det var tidligere skikken å tilordne grekerne oppfinnelsen av algebra, men siden Eisenlohrs dechiffrering av Rhind-papyrusen har dette synet endret seg, for i dette arbeidet er det tydelige tegn på en algebraisk analyse. Det spesielle problemet ---en haug (hau) og dens sjuende gjør 19 --- er løst slik vi nå skal løse en enkel ligning; men Ahmes varierer sine metoder i andre lignende problemer. Denne oppdagelsen bærer oppfinnelsen av algebra tilbake til rundt 1700 f.Kr., om ikke tidligere.

Det er sannsynlig at egypternes algebra var av høyst rudimentær karakter, for ellers skulle vi forvente å finne spor etter den i verkene til de greske aeometrene. hvorav Thales fra Milet (640-546 f.Kr.) var den første. Til tross for mangfoldet av forfattere og antallet skrifter, har alle forsøk på å trekke ut en algebraisk analyse fra deres geometriske teoremer og problemer vært resultatløse, og det er generelt innrømmet at analysen deres var geometrisk og hadde liten eller ingen tilhørighet til algebra. Det første bevarte verket som nærmer seg en avhandling om algebra er av Diophantus (q.v.), en alexandrinsk matematiker, som blomstret rundt 350 e.Kr.. Originalen, som besto av et forord og tretten bøker, er nå tapt, men vi har en latinsk oversettelse av de seks første bøkene og et fragment av en annen om polygonale tall av Xylander av Augsburg (1575), og latinske og greske oversettelser av Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Andre utgaver er utgitt, hvorav vi kan nevne Pierre Fermats (1670), T.L. Heath's (1885) og P. Tannery's (1893-1895). I forordet til dette verket, som er dedikert til en Dionysius, forklarer Diophantus sin notasjon, ved å navngi kvadratet, kuben og fjerde potenser, dynamis, cubus, dynamodinimus, og så videre, i henhold til summen i indeksene. Det ukjente uttrykker han aritmetikk, tallet, og i løsninger markerer han det med siste s; han forklarer generering av potenser, reglene for multiplikasjon og divisjon av enkle mengder, men han behandler ikke addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av sammensatte mengder. Han fortsetter deretter med å diskutere forskjellige kunstgrep for forenkling av ligninger, og gir metoder som fortsatt er i vanlig bruk. I hoveddelen av verket viser han betydelig oppfinnsomhet ved å redusere problemene sine til enkle ligninger, som tillater enten direkte løsning, eller faller inn i klassen kjent som ubestemte ligninger. Denne sistnevnte klassen diskuterte han så iherdig at de ofte er kjent som Diophantine-problemer, og metodene for å løse dem som Diophantine-analysen (se EQUATION, Indeterminate.) Det er vanskelig å tro at dette arbeidet til Diophantus oppsto spontant i en periode med generell stagnasjon.Det er mer enn sannsynlig at han sto i gjeld til tidligere forfattere, som han unnlater å nevne, og hvis verk nå er tapt; ikke desto mindre, men for dette arbeidet bør vi bli ledet til å anta at algebra var nesten, om ikke helt, ukjent for grekerne.

Romerne, som etterfulgte grekerne som den viktigste siviliserte makten i Europa, klarte ikke å sette pris på sine litterære og vitenskapelige skatter; matematikk ble alt annet enn neglisjert; og utover noen få forbedringer i aritmetiske beregninger, er det ingen vesentlige fremskritt å registrere.

I den kronologiske utviklingen av faget vårt må vi nå vende oss til Orienten. Undersøkelser av skriftene til indiske matematikere har vist et grunnleggende skille mellom det greske og det indiske sinnet, det første er i første rekke geometrisk og spekulativt, det siste aritmetisk og hovedsakelig praktisk. Vi finner at geometri ble neglisjert bortsett fra i den grad den var til tjeneste for astronomi; trigonometri var avansert, og algebra forbedret seg langt utover Diophantus oppnådde.

Fortsetter på side tre.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra 1911-utgaven av et leksikon, som er uten opphavsrett her i USA. Artikkelen er i det offentlige domene, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette verket etter eget ønske. .

Det er gjort alt for å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for eventuelle problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form av dette dokumentet.

Den tidligste indiske matematikeren som vi har viss kunnskap om er Aryabhatta, som blomstret rundt begynnelsen av det 6. århundre av vår tidsregning. Berømmelsen til denne astronomen og matematikeren hviler på hans arbeid, den Aryabhattiyam, det tredje kapittelet er viet matematikk. Ganessa, en eminent astronom, matematiker og akademiker i Bhaskara, siterer dette verket og nevner separat cuttaca ('pulveriser'), en enhet for å utføre løsningen av ubestemte ligninger. Henry Thomas Colebrooke, en av de tidligste moderne etterforskerne av hinduistisk vitenskap, antar at avhandlingen om Aryabhatta utvidet seg til å bestemme kvadratiske ligninger, ubestemte ligninger av første grad og sannsynligvis av andre. Et astronomisk verk, kalt Surya-siddhanta ('kunnskap om solen'), med usikker forfatterskap og sannsynligvis tilhørighet til det 4. eller 5. århundre, ble ansett som av stor fortjeneste av hinduene, som rangerte det bare på andreplass etter arbeidet til Brahmagupta, som blomstret rundt et århundre senere.Det er av stor interesse for den historiske studenten, for det viser innflytelsen fra gresk vitenskap på indisk matematikk i en periode før Aryabhatta. Etter et intervall på omtrent et århundre, hvor matematikken nådde sitt høyeste nivå, blomstret Brahmagupta (f. 598 e.Kr.), hvis arbeid med tittelen Brahma-sphuta-siddhanta ('Det reviderte systemet til Brahma') inneholder flere kapitler viet til matematikk. Av andre indiske forfattere kan nevnes Cridhara, forfatteren av en Ganita-sara ('Quintessens of Calculation'), og Padmanabha, forfatteren av en algebra.

En periode med matematisk stagnasjon ser da ut til å ha besatt det indiske sinnet i et intervall på flere århundrer, for verkene til den neste forfatteren i ethvert øyeblikk står bare lite i forkant av Brahmagupta. Vi viser til Bhaskara Acarya, hvis arbeid den Siddhanta-ciromani ('Diadem of anastronomical System'), skrevet i 1150, inneholder to viktige kapitler, Lilavati ('den vakre [vitenskap eller kunst]') og Viga-ganita ('rot-utvinning'), som er gitt opp til aritmetikk og algebra.

Engelske oversettelser av de matematiske kapitlene i brahma-siddhanta og Siddhanta-ciromani av H. T. Colebrooke (1817), og av Surya-siddhanta av E. Burgess, med merknader av W. D. Whitney (1860), kan konsulteres for detaljer.

Spørsmålet om grekerne lånte sin algebra fra hinduene eller omvendt har vært gjenstand for mye diskusjon. Det er ingen tvil om at det var en konstant trafikk mellom Hellas og India, og det er mer enn sannsynlig at en utveksling av produkter ville bli ledsaget av en overføring av ideer. Moritz Cantor mistenker påvirkningen av diofantiske metoder, mer spesielt i hinduistiske løsninger av ubestemte ligninger, der visse tekniske termer etter all sannsynlighet er av gresk opprinnelse. Uansett hvordan dette måtte være, er det sikkert at de hinduistiske algebraistene var langt foran Diophantus. Manglene ved den greske symbolikken ble delvis utbedret; subtraksjon ble angitt ved å plassere en prikk over subtrahenden; multiplikasjon, ved å plassere bha (en forkortelse av bhavita, 'produktet') etter fakta; divisjon, ved å plassere deleren under utbyttet; og kvadratrot, ved å sette inn ka (en forkortelse av karana, irrasjonell) foran mengden. Det ukjente ble kalt yavattavat, og hvis det var flere, tok den første denne betegnelsen, og de andre ble betegnet med fargenavn; for eksempel ble x betegnet med ya og y med ka (fra lastebil, svart).

Fortsetter på side fire.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra 1911-utgaven av et leksikon, som er uten opphavsrett her i USA. Artikkelen er i det offentlige domene, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette verket etter eget ønske. .

Det er gjort alt for å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for eventuelle problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form av dette dokumentet.

En bemerkelsesverdig forbedring av ideene til Diophantus er å finne i det faktum at hinduene anerkjente eksistensen av to røtter til en kvadratisk ligning, men de negative røttene ble ansett for å være utilstrekkelige, siden ingen tolkning kunne bli funnet for dem. Det antas også at de forutså oppdagelser av løsningene til høyere ligninger. Det ble gjort store fremskritt i studiet av ubestemte ligninger, en analysegren der Diophantus utmerket seg. Men mens Diophantus hadde som mål å oppnå en enkelt løsning, strebet hinduene etter en generell metode som ethvert ubestemt problem kunne løses med. I dette var de fullstendig vellykkede, for de fikk generelle løsninger for ligningene ax(+ eller -)by=c, xy=ax+by+c (siden gjenoppdaget av Leonhard Euler) og cy2=ax2+b. Et spesielt tilfelle av den siste ligningen, nemlig y2=ax2+1, beskattet ressursene til moderne algebraister hardt. Det ble foreslått av Pierre de Fermat til Bernhard Frenicle de Bessy, og i 1657 til alle matematikere.John Wallis og Lord Brounker oppnådde i fellesskap en kjedelig løsning som ble publisert i 1658, og deretter i 1668 av John Pell i hans Algebra. En løsning ble også gitt av Fermat i sin Relation. Selv om Pell ikke hadde noe med løsningen å gjøre, har ettertiden kalt ligningen Pells ligning, eller problem, når det mer riktig burde være det hinduistiske problemet, i erkjennelse av brahmanenes matematiske oppnåelser.

Hermann Hankel har pekt på beredskapen som hinduene gikk med fra antall til størrelse og omvendt. Selv om denne overgangen fra det diskontinuerlige til det kontinuerlige ikke er virkelig vitenskapelig, forsterket den utviklingen av algebra vesentlig, og Hankel bekrefter at hvis vi definerer algebra som anvendelsen av aritmetiske operasjoner på både rasjonelle og irrasjonelle tall eller størrelser, så er brahmanene ekte oppfinnere av algebra.

Integreringen av de spredte stammene i Arabia på 700-tallet av den gripende religiøse propagandaen til Mahomet ble ledsaget av en meteorisk økning i de intellektuelle kreftene til en hittil uklar rase. Araberne ble voktere av indisk og gresk vitenskap, mens Europa ble ødelagt av interne uenigheter. Under abbasidenes styre ble Bagdad sentrum for vitenskapelig tanke; leger og astronomer fra India og Syria strømmet til retten deres; Greske og indiske manuskripter ble oversatt (et verk startet av kalifen Mamun (813-833) og dyktig videreført av hans etterfølgere); og i løpet av omtrent et århundre ble araberne satt i besittelse av de enorme lagrene av gresk og indisk lærdom. Euklids elementer ble først oversatt under Harun-al-Rashids regjeringstid (786-809), og revidert etter Mamuns ordre. Men disse oversettelsene ble sett på som ufullkomne, og det gjenstod for Tobit ben Korra (836-901) å produsere en tilfredsstillende utgave. Ptolemaios Almagest, verkene til Apollonius, Archimedes, Diophantus og deler av Brahmasiddhanta, ble også oversatt.Den første bemerkelsesverdige arabiske matematikeren var Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, som blomstret under Mamuns regjeringstid. Hans avhandling om algebra og aritmetikk (hvor den siste delen bare eksisterer i form av en latinsk oversettelse, oppdaget i 1857) inneholder ingenting som var ukjent for grekerne og hinduene; den viser metoder knyttet til de av begge raser, med det greske elementet som dominerer. Delen viet til algebra har tittelen al-jeur wa'lmuqabala, og regnestykket begynner med 'Spoken has Algoritmi', navnet Khwarizmi eller Hovarezmi har gått over i ordet Algoritmi, som har blitt ytterligere transformert til de mer moderne ordene algoritme og algoritme, som betyr en metode for databehandling.

Fortsetter på side fem.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra 1911-utgaven av et leksikon, som er uten opphavsrett her i USA. Artikkelen er i det offentlige domene, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette verket etter eget ønske. .

Det er gjort alt for å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for eventuelle problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form av dette dokumentet.

Tobit ben Korra (836-901), født i Harran i Mesopotamia, en dyktig lingvist, matematiker og astronom, ytet iøynefallende tjeneste ved sine oversettelser av forskjellige greske forfattere. Hans undersøkelse av egenskapene til minnelige tall (q.v.) og av problemet med å treskjære en vinkel, er av betydning. Araberne lignet mer på hinduene enn grekerne i valg av studier; deres filosofer blandet spekulative avhandlinger med det mer progressive studiet av medisin; matematikerne deres forsømte finessene i kjeglesnittene og diofantanalysen, og brukte seg mer spesielt på å perfeksjonere systemet med tall (se NUMERAL), aritmetikk og astronomi (q.v..) Det skjedde således at mens det ble gjort noen fremskritt i algebra, talenter av rasen ble tildelt astronomi og trigonometri (q.v..) Fahri des al Karbi, som blomstret rundt begynnelsen av det 11. århundre, er forfatteren av det viktigste arabiske arbeidet om algebra. Han følger metodene til Diophantus; hans arbeid med ubestemte ligninger har ingen likhet med de indiske metodene, og inneholder ingenting som ikke kan hentes fra Diophantus.Han løste kvadratiske ligninger både geometrisk og algebraisk, og også ligninger på formen x2n+axn+b=0; han beviste også visse sammenhenger mellom summen av de første n naturlige tallene, og summene av deres kvadrater og terninger.

Kubiske ligninger ble løst geometrisk ved å bestemme skjæringspunktene til kjeglesnitt. Arkimedes' problem med å dele en kule med et plan i to segmenter med et foreskrevet forhold, ble først uttrykt som en kubikkligning av Al Mahani, og den første løsningen ble gitt av Abu Gafar al Hazin. Bestemmelsen av siden til en vanlig sjukant som kan skrives inn eller omskrives til en gitt sirkel ble redusert til en mer komplisert ligning som først ble løst med suksess av Abul Gud. Metoden for å løse likninger geometrisk ble betydelig utviklet av Omar Khayyam fra Khorassan, som blomstret på 1000-tallet. Denne forfatteren stilte spørsmål ved muligheten for å løse kubikk ved ren algebra, og biquadratics ved geometri. Hans første påstand ble ikke motbevist før på 1400-tallet, men hans andre ble disponert av Abul Weta (940-908), som lyktes i å løse formene x4=a og x4+ax3=b.

Selv om grunnlaget for den geometriske oppløsningen til kubiske ligninger skal tilskrives grekerne (for Eutocius tildeler Menaechmus to metoder for å løse likningen x3=a og x3=2a3), må likevel den påfølgende utviklingen av araberne betraktes som en av deres viktigste prestasjoner. Grekerne hadde lyktes i å løse et isolert eksempel; araberne oppnådde den generelle løsningen av numeriske ligninger.

Betydelig oppmerksomhet har blitt rettet mot de forskjellige stilene som de arabiske forfatterne har behandlet emnet sitt i. Moritz Cantor har antydet at det på en gang eksisterte to skoler, en i sympati med grekerne, den andre med hinduene; og at selv om skriftene til sistnevnte først ble studert, ble de raskt forkastet på grunn av de mer iøynefallende greske metodene, slik at blant de senere arabiske forfatterne ble de indiske metodene praktisk talt glemt og deres matematikk ble i hovedsak gresk karakter.

Når vi vender oss til araberne i Vesten, finner vi den samme opplyste ånden; Cordova, hovedstaden i det mauriske imperiet i Spania, var like mye et læringssenter som Bagdad. Den tidligste kjente spanske matematikeren er Al Madshritti (d. 1007), hvis berømmelse hviler på en avhandling om minnelige tall, og på skolene som ble grunnlagt av hans elever i Cordoya, Dama og Granada. Gabir ben Allah fra Sevilla, ofte kalt Geber, var en berømt astronom og tilsynelatende dyktig i algebra, for det har blitt antatt at ordet 'algebra' er sammensatt fra navnet hans.

Da det mauriske imperiet begynte å avta, ble de strålende intellektuelle gaver som de hadde næret så rikelig i løpet av tre eller fire århundrer, svekket, og etter den perioden klarte de ikke å produsere en forfatter som var sammenlignbar med de fra det 7. til det 11. århundre.

Fortsetter på side seks.

Dette dokumentet er en del av en artikkel om Algebra fra 1911-utgaven av et leksikon, som er uten opphavsrett her i USA. Artikkelen er i det offentlige domene, og du kan kopiere, laste ned, skrive ut og distribuere dette verket etter eget ønske. .

Det er gjort alt for å presentere denne teksten nøyaktig og rent, men det gis ingen garantier mot feil. Verken Melissa Snell eller About kan holdes ansvarlig for eventuelle problemer du opplever med tekstversjonen eller med noen elektronisk form av dette dokumentet.